机器学习原理-分类(生成式)

机器学习主要分为监督学习（Supervised Learning）、无监督学习（Unsupervised Learning）、强化学习（Reinforcement Learning）以及半监督学习（Semi-supervised Learning）等范式。

监督学习主要包括两大类基础任务：回归（Regression）和分类（Classification）。回归用于预测连续值（输出为实数），分类则用于预测离散类别标签（输出为有限集合中的某个类别）。此外，结构化学习（Structured Learning）是一类更复杂的监督学习任务，其输出是具有内部结构的对象（如序列、树等），可视为分类或回归的高维扩展。

在分类任务中，模型可分为生成式模型（Generative Models）和判别式模型（Discriminative Models）。生成式模型通过对联合分布 P(x,y) 建模来实现分类，典型方法包括高斯判别分析（GDA）及其两种常见形式——假设协方差矩阵共享的线性判别分析（LDA）和允许协方差矩阵独立的二次判别分析（QDA），以及朴素贝叶斯等。判别式模型则直接建模条件分布 P(y∣x)，代表方法有逻辑回归（Logistic Regression）、支持向量机（SVM）等。

本文将简要介绍高斯判别分析（GDA）的基本思想与形式。

问题设定 (1)

训练数据为一组带标签的样本。

• 对象：由 $d$ 个连续特征描述，表示为特征向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^d$；

• 标签：样本所属的类别，记为 $y$，其中 $y \in {c_1, c_2, \dots, c_K}$（离散变量，共 $K$ 个类别）后文使用$k$表示一个具体的类别，$y$表示类别变量；

• 样本：一个对象及其所属的类别构成一个样本，记为 $(\boldsymbol{x}_i, y_i)$；

• 样本集：给定 $N$ 个独立同分布的训练样本

  $$
  (\boldsymbol{x}_1, y_1),\ (\boldsymbol{x}_2, y_2),\ \dots,\ (\boldsymbol{x}_N, y_N)
  $$
  其中 $\boldsymbol{x}_i \in \mathbb{R}^d$ 是第 $i$ 个样本的特征向量，$y_i$ 是其对应的类别标签。

注：下标 $i$ 表示样本索引，而非向量分量；向量 $\boldsymbol{x}_i$ 的第 $j$ 个分量记为 $x_{ij}$。

任务：学习一个分类模型，使其能够对新的输入 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 预测其所属类别 $y$。

核心思想 (2)

假设训练样本是由如下机制生成的：

• 所有类别 $1,2,\dots,K$ 符合某种概率分布 $P(y)$；按此分布，采样一个标签 $y=k$；
• 类别 $k$ 内的特征（对象）符合某种概率分布 $P(\boldsymbol{x} \mid y = k)$；按此分布，生成一个特征 $\boldsymbol{x}$;
• 以此类推，产生所有样本；

因此，样本 $(\boldsymbol{x}, y)$ 被生成的联合概率为：

$$
P(\boldsymbol{x}, y = k) = P(y = k) \cdot P(\boldsymbol{x} \mid y = k)
$$

实际上，训练样本并不是按上述方法生成的，而是来自于真实世界；但真实世界是一个黑箱机器，我们无法窥探其内部构造。所以，希望通过机器学习，构建真实世界的模型，即为黑箱机器构建一个模拟机器。假如模拟机器产生的样本分布，与真实世界抽样得到的样本分布足够接近，模型的预测也就是可靠的。

正如 George E. P. Box 所言：”All models are wrong, but some are useful.”

于是，把上述生成过程抽象成一个模型$P_{\text{model}}(\boldsymbol{x}, y)$（类比回归问题中的模型——带未知参数的函数）：

$$
P_{\text{model}}(\boldsymbol{x}, y = k) = P_{\text{model}}(y = k) \cdot P_{\text{model}}(\boldsymbol{x} \mid y = k)
$$

真实世界（黑箱机器）记做 $P_{\text{true}}(\boldsymbol{x}, y)$：

$$
P_{\text{true}}(\boldsymbol{x}, y = k) = P_{\text{true}}(y = k) \cdot P_{\text{true}}(\boldsymbol{x} \mid y = k)
$$

说明：真实世界模型 $P_{\text{true}}(\boldsymbol{x})$ 可能根本无法通过数学描述，它只是我们假想的目标。就像回归问题中，目标曲线的数学表达式可能不存在一样。只要Loss足够小，并且在validation和test集上表现足够好，就认为接近真实世界模型。

如何通过有限的训练数据，学习一个生成模型 $P_{\text{model}}(y)$ 和 $P_{\text{model}}(\boldsymbol{x} \mid y)$ 使其尽可能逼近真实世界的分布 $P_{\text{true}}(y)$ 和 $P_{\text{true}}(\boldsymbol{x} \mid y)$？

高斯判别分析（Gaussian Discriminant Analysis, GDA）提供了一种具体解决方案。

高斯判别分析 (3)

模型 (3.1)

在回归问题中，首先根据领域知识（domain knowledge）选择一个带未知参数的函数形式作为模型（如线性函数、多项式或神经网络）。

分类问题同样如此：基于领域知识（domain knowledge）或对数据的先验理解，如果每个类别的特征在输入空间中近似服从高斯分布（即在给定类别条件下，样本呈“椭球状”聚集），那么选择高斯判别分析（Gaussian Discriminant Analysis, GDA）就是一种自然且合理的建模决策。

换句话说，GDA 适用于那些类条件分布 $P(\boldsymbol{x} \mid y = k)$ 近似服从多元高斯分布的场景。
这本质上是根据 domain knowledge 主动选择 GDA 作为模型，而非将 GDA 视为万能分类器。

GDA 模型定义如下：

• 类别先验 $P_{\text{model}}(y)$ ：

  $$
  P(y = k) = \pi_k, \quad \text{其中 } \pi_k \geq 0,\ \sum_{k=1}^{K} \pi_k = 1.
  $$

• 类条件分布 $P_{\text{model}}(\boldsymbol{x} \mid y = k)$ 服从多元高斯分布：

  $$
  P_{\text{model}}(\boldsymbol{x} \mid y = k) = \mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)
  $$

  其中

  $$
  \mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k) =
  \frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\boldsymbol{\Sigma}_k|^{1/2}}
  \exp\left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_k) \right)
  $$

  是多元高斯分布的概率密度函数（PDF）。

说明：$\pi$ 是圆周率，和各类别的先验概率 $\pi_k$ 没有关系；$d$ 是特征的个数，也就是特征向量$\boldsymbol{x}$的维数。
说明：先验概率 $P(y=k)$ 是在观测到任何数据（即特征 $x$）之前，对类别 $k$ 出现的概率信念。它反映了类别在总体中的固有频率或主观先验知识。

• 频率学派视角（客观解释）：
  • 先验概率 $\pi_k$ 被估计为类别 $k$ 在训练数据中的经验频率：$\pi_k = \frac{N_k}{N}$；
  • 在 GDA 中，若采用最大似然估计（MLE, Maximum Likelihood Estimation），该估计值正是 $\pi_k$ 的最优解（$\pi_k = \frac{N_k}{N}$ 不是人为设定，而是 MLE 求解得到的）；
• 贝叶斯学派视角（主观解释）：
  • 先验概率可以来自领域知识、历史经验或专家判断，不一定依赖当前数据。

类比回归问题中的模型（带未知参数的函数），GDA 模型中也包含一组待学习的未知参数，具体包括：

• 类别先验参数：$\pi_1, \pi_2, \dots, \pi_K$，表示各类别的先验概率；满足 $\sum_{k=1}^{K} \pi_k = 1$；
• 高斯分布参数：对每个类别 $k$，
  • 均值向量 $\boldsymbol{\mu}_k \in \mathbb{R}^d$，
  • 协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}_k \in \mathbb{R}^{d \times d}$（对称正定）。

因此，完整参数集可表示成：

$$
\boldsymbol{\theta} = ( \pi_1, \dots, \pi_K; \boldsymbol{\mu}_1, \dots, \boldsymbol{\mu}_K; \boldsymbol{\Sigma}_1, \dots, \boldsymbol{\Sigma}_K )
$$

引入参数集$\boldsymbol{\theta}$之后，我们把模型正式记做：$P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}, y) = P_{\boldsymbol{\theta}}(y) \cdot P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x} \mid y)$；

接下来的任务就是从训练数据中学习 $\boldsymbol{\theta}$，使得模型 $P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}, y)$ 最大程度地“解释”观测样本 $(\boldsymbol{x}_i, y_i)$，逼近真实数据分布。

概率密度 (3.2)

在继续之前，需明确 $P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x} \mid y = k)$ 的含义。

条件概率 $P(A \mid B)$ 表示在事件 $B$ 已经发生的前提下，事件 $A$ 发生的概率。

在机器学习中常沿用记号 $P(\boldsymbol{x} \mid y = k)$ 来表示条件概率密度，尽管严格来说它不是一个概率，而是一个密度函数。

在当前上下文中：

• 事件 $B$：类别被选定为 $y = k$；
• 事件 $A$：生成的样本落入 $\boldsymbol{x}$ 的一个微小但有限的邻域内。注意：并非“生成确切的 $\boldsymbol{x}$”

需要特别注意：由于 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^d$ 是连续型随机向量，其取任意特定值的概率严格为零，即

$$
P(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{x} \mid y = k) = 0
$$

因此，$P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x} \mid y = k)$ 是概率密度，而非概率本身。它的数值大小反映了在类别 $k$ 下，样本出现在 $\boldsymbol{x}$ 附近的相对可能性：密度越高，该区域出现样本的可能性越大。若$\boldsymbol{x}$不是连续的而是离散的，就可以理解为概率了（前文为了便于理解，把它当成概率）。

又假设符合多元高斯分布，所以这个概率密度函数记为$\mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)$.

注：这里 $\mid$ 不是条件概率，而是表示以 $\boldsymbol{\mu}_k$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}_k$ 为未知参数的函数。

故模型 $P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}, y)$ 生成一个样本，它在$(\boldsymbol{x}_i, y_i)$的无穷小邻域内的概率（粗略理解为生成$(\boldsymbol{x}_i, y_i)$的概率）是：

$$
P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_i, y_i) =
P_{\boldsymbol{\theta}}(y = y_i) \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_{y_i}, \boldsymbol{\Sigma}_{y_i}) =
\pi_{y_i} \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_{y_i}, \boldsymbol{\Sigma}_{y_i})
$$

回到正题，从训练数据中学习 $\boldsymbol{\theta}$.

最大似然估计 (4)

回归问题通常通过梯度下降等数值优化方法求解参数；而 GDA 因其良好的概率结构，可通过最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）获得解析解。最大似然估计，就是最大化似然函数。

真实世界是一台黑箱机器，即不能确切知道 $P_{\text{true}}(\boldsymbol{x},y)$. 我们造了一台机器模拟它，若希望模拟得足够像，自然是希望它的产品与真实产品足够相似（分布相似）。这正是生成建模（generative modeling）的核心思想。

具体而言：

• 我们观测到一组来自真实世界的独立同分布样本：$(\boldsymbol{x}_1, y_1),\ (\boldsymbol{x}_2, y_2),\ \dots,\ (\boldsymbol{x}_N, y_N)$；这些是真实世界这台黑箱机器的产品；
• 我们已选定生成模型 $P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x},y)$，但参数 $\boldsymbol{\theta}$ 未知；这是我们构建的模拟机器，其内部参数尚待校准；
• 寻找参数 $\boldsymbol{\theta}$，使得该模型“最有可能”生成我们所观测到的这些样本；这是校准参数，让模拟机器的产品分布尽可能接近真实产品的分布；

在概率框架下，“最有可能”意味着最大化联合似然函数（likelihood）：

$$
\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}) =
\prod_{i=1}^{N} P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_i, y_i) =
P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_1, y_1) P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_2,y_2) \dots P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_N,y_N)
$$

即所有观测样本在模型下的联合概率（密度）之积。

由于连乘形式不便优化，且对数函数单调递增，最大化似然函数的对数（叫做对数似然函数）是等价的：

$$
\ell(\boldsymbol{\theta}) = \log \mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}) = \sum_{i=1}^{N} \log P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}_i, y_i)
$$

将GDA 模型代入，得：

$$
\ell(\boldsymbol{\theta}) =
\sum_{i=1}^{N} \log ( \pi_{y_i} \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_{y_i}, \boldsymbol{\Sigma}_{y_i}) ) =
\sum_{i=1}^{N} ( \log \pi_{y_i} + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_{y_i}, \boldsymbol{\Sigma}_{y_i}) )
$$

展开为如下两部分(1)和(2)之和。第(1)部分只含$\pi_k$；第(2)部分不含$\pi_k$；所以可以分别独立最大化。

$$
\log \pi_{y_1} + \log \pi_{y_2} + \dots + \log \pi_{y_N}
\tag{1}
$$

$$
\log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_1 \mid \boldsymbol{\mu}_{y_1}, \boldsymbol{\Sigma}_{y_1}) + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_2 \mid \boldsymbol{\mu}_{y_2}, \boldsymbol{\Sigma}_{y_2}) + \dots + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_N \mid \boldsymbol{\mu}_{y_N}, \boldsymbol{\Sigma}_{y_N})
\tag{2}
$$

第(1)部分：

把类别相同（$y$相同）的项移到一起。例如100个样本（$N=100$），3个类别（$K=3$）；其中70个属于类别$1$（$N_{1}=70$）；20个属于类别$2$（$N_{2}=20$）；10个属于类别$3$（$N_{3}=10$）；把它们分别放在一起，再重组得到：

$$
\underbrace{ \log \pi_1 + \dots + \log \pi_1 }_{N_1个} +
\underbrace{ \log \pi_2 + \dots + \log \pi_2 }_{N_2个} +
\dots +
\underbrace{ \log \pi_K + \dots + \log \pi_K }_{N_K个} +
$$

也就是

$$
\text{ 最大化 }
\sum_{k=1}^K N_{k} \log \pi_{k}
\quad \text{ 满足 }
\sum_{k=1}^K \pi_k = 1, \pi_k \geq 0
$$

使用拉格朗日乘子法（待学习）解得：

$$
\hat{\pi}_k = \frac{N_k}{N}
$$

结果就等于各个类别的样本数除以样本总数（和直觉符合）。对于上面的例子，$\pi_1 = 0.7$，$\pi_2 = 0.2$，$\pi_3 = 0.1$。

第(2)部分：

也把类别相同的移到一起：

$$
\sum_{i:y_i=1} \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}_1) +
\sum_{i:y_i=2} \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_2, \boldsymbol{\Sigma}_2) +
\dots +
\sum_{i:y_i=K} \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_K, \boldsymbol{\Sigma}_K)
$$

$i:y_i=k$ 表示：使 $y_{i}=k$ 的所有 $i$（其中$k=1,2,\dots,K$），即类别 $k$ 的所有样本的下标，是求和（$\sum$）范围（类别相同的样本被移到一起）。

因为不同类别$k$之间也解偶，可以独立考虑每一个$k$。

代入高斯 PDF 的对数形式：

$$
\mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k) =
\frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\boldsymbol{\Sigma}_k|^{1/2}}
\exp\left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_k) \right)
$$

忽略常数项（与参数无关），原最大化问题等价于最小化：

$$
\sum_{i:y_i=k} ( \log |\boldsymbol{\Sigma}_k| + (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1} (\boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{\mu}_k) )
$$

对$\boldsymbol{\mu}_k$求导，令为零（待学习），可得:

$$
\hat{\boldsymbol{\mu}}_k = \frac{1}{N_k} \sum_{i:y_i=k} \boldsymbol{x}_i
$$

对$\boldsymbol{\Sigma}_k$求导并令为零（待学习），利用矩阵微分公式，可得：

$$
\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_k = \frac{1}{N_k} \sum_{i:y_i=k} (\boldsymbol{x}_i - \hat{\boldsymbol{\mu}}_k) (\boldsymbol{x}_i - \hat{\boldsymbol{\mu}}_k)^\top
$$

这就求解了$\boldsymbol{\theta}$：

$$
\hat{\boldsymbol{\theta}} = ( \hat{\pi}_1, \dots, \hat{\pi}_K; \hat{\boldsymbol{\mu}}_1, \dots, \hat{\boldsymbol{\mu}}_K; \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_1, \dots, \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_K )
$$

对比回归问题 (5)

分类与回归的建模流程本质一致：

• 回归：定义模型 $f_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x})$，然后使用梯度下降的方法求解$\boldsymbol{\theta}$.
• 分类（GDA）：定义模型 $P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}, y)$，然后使用最大似然估计的方法求解$\boldsymbol{\theta}$.

两者均遵循：限定假设空间 → 用数据拟合参数。

预测阶段 (6)

现在模型已经“训练”（求解析解而非梯度下降）完成，看如何预测 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的类别。

贝叶斯公式 (6.1)

$$
P(A \cap B) = P(A) P(B \mid A) = P(B) P(A \mid B)
$$

对于两个事件 $A$ 和 $B$（假设 $P(A)>0$ 且 $P(B)>0$），它们同时发生的概率：

• 等于A发生的概率 乘以 A已经发生的情况下B发生的条件概率
• 等于B发生的概率 乘以 B已经发生的情况下A发生的条件概率

举例：

• 已知某疾病发生的先验概率（来自真实统计）是 1%，即 $P(\text{病}) = 0.01$，$P(\text{健}) = 0.99$.
• 检测准确率：
  • 健康的人，有5%的假阳性；即 $P(\text{阳} \mid \text{健}) = 0.05$
  • 生病的人，有2%的假阴性；即 $P(\text{阳} \mid \text{病}) = 0.98$
• 问题：若某人检测为阳性，他真生病的概率是多少？

$$
P(\text{阳} \cap \text{病}) = P(\text{病}) P(\text{阳} \mid \text{病}) = P(\text{阳}) P(\text{病} \mid \text{阳})
$$

这个人已经检测阳性，他真生病的概率也就是 已检测阳性的情况下，生病的条件概率，即$P(\text{病} \mid \text{阳})$：

$$
P(\text{病} \mid \text{阳}) = \frac{P(\text{病}) P(\text{阳} \mid \text{病})}{P(\text{阳})} = \frac{0.01 \times 0.98}{P(\text{阳})}
$$

根据全概率公式（Law of Total Probability）：

$$
P(\text{阳}) = P(\text{阳} \mid \text{健}) P(\text{健}) + P(\text{阳} \mid \text{病}) P(\text{病}) = 0.05 \times 0.99 + 0.98 \times 0.01 = 0.0593
$$

故

$$
P(\text{病} \mid \text{阳}) = \frac{P(\text{病}) P(\text{阳} \mid \text{病})}{P(\text{阳})} = \frac{0.01 \times 0.98}{0.0593} = 0.1653
$$

这个人真生病的概率只有16.53%!

贝叶斯分类 (6.2)

要预测 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的类别，套用贝叶斯公式：

• 事件$A$：选择某个类别$k$；
• 事件$B$：生成的对象落在 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的无限小领域内。可以先把 $\boldsymbol{x}$ 想象成离散的，那么事件 $B$ 就是生成 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的概率（不严谨，但更容易理解）。

现在事件 $B$ 已经发生；我们关注事件 $A$ 发生的概率。

• 假如 $k=1$，事件 $A$ 发生的概率就是 $P(y=1 \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}})$；
• 假如 $k=2$，事件 $A$ 发生的概率就是 $P(y=2 \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}})$；
• 以此类推；

这其实就是贝叶斯统计中的后验概率。在第3.1节已经介绍过先验概率，而后验概率是指在观察到新证据或数据后，对某事件发生概率的修正的估计‌。换句话说，是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，或者“执果寻因”问题中的“果”。

先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。事情还没有发生，求这件事情发生的可能性的大小，是先验概率。事情已经发生，求这件事情发生的原因是某个因素的可能性的大小，是后验概率。先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料。

在第6.1节的例子中，患病的先验概率（来自真实统计的历史资料）是 1%；后验概率（检测到阳性——增加补充资料后修正概率）是 16.53%。

再举一例：假设一个学校里有 60% 男生和 40% 女生。女生穿裤子和穿裙子的概率各 50%；所有男生都穿裤子。在远处看到一个穿裤子的学生。那么这个学生是女生的概率是多少？若看到一个学生，分不清穿的是裤子还是裙子，问看到的是女生概率是多少？由于没有任何补充资料，只能根据先验概率估计，即 40%；

现在有了更多信息（穿的是裤子），使用贝叶斯定理，

• 事件 $A$ ：看到一个女生；
• 事件 $B$ ：看到一个穿裤子的学生；

我们要计算的是 $P(A \mid B)$。

• $P(A)$ 是忽略其它因素，看到女生的概率，在这里是 40%；
• $P(A’)$ 是忽略其它因素，看到不是女生（即看到男生）的概率，在这里是 60%；
• $P(B \mid A)$ 是女生穿裤子的概率，在这里是 50%；
• $P(B \mid A’)$ 是男生穿裤子的概率，在这里是 100%；
• $P(B)$ 是忽略其它因素，学生穿裤子的概率（符合全概率公式）：$P(B) = P(A)P(B \mid A) + P(A’)P(B \mid A’) = 0.4 \times 0.5 + 0.6 \times 1.0 = 0.8$；

根据贝叶斯定理，计算出后验概率：

$$
P(A \mid B) = \frac{P(A)P(B \mid A)}{P(B)} = \frac{0.4\times 0.5}{0.8} = 0.25
$$

这里，$P(A) = 0.4$ 是先验概率（根据现有材料得知）；$P(A \mid B) = 0.25$ 是后验概率（观察到穿裤子的学生——即补充资料后，重新修正的概率）。

另外：先验和后验是相对的，不是绝对的标签。例如看到这个人戴了发箍——那么就可以进一步修正概率，上一轮的后验概率，就变成下一轮的先验概率。

判别函数 (6.3)

回到我们的分类上下文，后验概率指在观察到数据 $\boldsymbol{x}_{new}$ 之后，某个类别 $y=k$ 成立的概率。

所以，原问题就变成：$k$ 取何值，能使 $P(y=k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}})$ 最大？用统计学语言来说，就是哪个 $k$ 的后验概率最大？那个 $k$ 就是模型预测的 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的类别，记为 $\hat{y}_{\text{new}}$。

于是，预测类别可表示成一个最大化问题：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} P(y = k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}})
$$

说明：$\arg\max$ 是 “argument of the maximum” 的缩写，表示使函数取得最大值的自变量（或参数）的取值。尽管在某些情况下可能存在多个最大化点（此时 $\arg\max$ 是一个集合），该符号仍采用单数形式 “argument” 命名，这是数学中的标准惯例。$\arg\min$ 同理，是 “argument of the minimum” 的缩写。

根据贝叶斯公式：

$$
P(y = k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}}) = \frac{P(y=k) P(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid y=k)}{P(\boldsymbol{x}_{\text{new}})}
\tag{3}
$$

分母是生成对象落在 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的无限小领域内的概率。离散情况下，理解为生成 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的概率。即所有类别生成 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的概率的总和。这就是全概率公式（Law of Total Probability）：

$$
P(\boldsymbol{x}_{\text{new}}) = \sum_{j=1}^K P(y=j) P(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid y=j)
\tag{4}
$$

关键：$P(\boldsymbol{x}_{\text{new}})$ 不依赖于 $k$ —— 对所有 $k$ 都是同一个归一化常数。

于是，问题就变成选择 $k$ 来最大化分子部分：

$$
P(y=k) P(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid y=k)
$$

代入模型，变成了选择 $k$ 来最大化：

$$
\pi_k \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)
$$

故问题变成：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} ( \pi_k \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k) )
$$

因为单调性，可最大化其对数。所以，问题再变成：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} (\log \pi_k + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k) )
$$

代入：

$$
\log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k) =
-\frac{d}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\log|\boldsymbol{\Sigma}_k| - \frac{1}{2}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)
\tag{5}
$$

忽略所有与 $k$ 无关的常数项 $-\frac{d}{2}\log(2\pi)$，得到如下式子。把它定义为判别函数（discriminant function），并使用符号 $\delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}})$ 表示。

$$
\delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}}) =
\log \pi_k - \frac{1}{2}\log|\boldsymbol{\Sigma}_k| - \frac{1}{2}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)
\tag{6}
$$

最终：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} \delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}})
$$

预测 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的类别：

• 对每个 $k$（$k=1,2,\dots,K$）算出 $\delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}})$（代入第4节解得的 $\hat{\pi}_k$，$\hat{\boldsymbol{\mu}}_k$，$\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_k$）；
• 使得 $\delta_k$ 最大的那个 $k$ 就是结果。

所有类别的概率 (6.4)

上一节中，对每个 $k$（$k=1,2,\dots,K$）算出的 $\delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}})$，就是模型预测的 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 属于各个类别可能性的相对大小。但它不是概率，因为：

• $\delta_k$（$k=1,2,\dots,K$）可能大于1、等于1、或为负数；
• $\sum_{k=1}^K \delta_k$ 不一定等于1（基本上不会等于1，除非碰巧）；

要得到概率，对所有 $\delta_k$ 使用 $\operatorname{softmax}$ “强行”归一化即可。

函数 $\operatorname{softmax}$ 的一般定义如下：

给定一个实数向量 $\boldsymbol{z} = (z_1, z_2, \dots, z_K)^\top \in \mathbb{R}^K$，$\operatorname{softmax}$ 将其归一化为一个由 $K$ 个概率组成的概率分布，其中每个概率与对应输入分量的指数成正比。也就是说，在应用 $\operatorname{softmax}$ 之前，向量分量可能为负数、大于 1，且总和不一定为 1；但应用之后，每个分量都落在区间 $(0,1)$ 内，且所有分量之和等于 1，因此可被解释为概率。此外，较大的输入分量将对应较大的输出概率。

其数学形式为：

$$
\operatorname{softmax}(\boldsymbol{z})_k = \frac{e^{z_k}}{\sum_{j=1}^K e^{z_j}}, \quad \text{for } k = 1, 2, \dots, K.
$$

上面说对 $\delta_k$ “强行”归一化，其中“强行”加了引号，因为其实一点也不强行：$\delta_k$ 推导的起点就是后验概率，只是在过程中，舍去了公共分母以及与 $k$ 无关的项，得到一个简单的、便于判断大小的表达，用于判别 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 属于类别 $k$（$k=1,2,\dots,K$）的可能性的相对大小（故叫做判别函数）。我们完全可以换一种推导方式（还是以后验概率为起点）：

根据第6.3节公式(3)和(4)：

$$
\begin{aligned}
P(y = k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}})
& = \frac{P(y=k) P(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid y=k)}{\sum_{j=1}^K P(y=j) P(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid y=j)} \\
\\
& = \frac{\pi_k \mathcal{N}_k}{\sum_{j=1}^K \pi_j \mathcal{N}_j}
\end{aligned}
$$

其中 $\mathcal{N}_k$ 表示 $\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}_k)$；
同理 $\mathcal{N}_j$ 表示 $\mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_j, \boldsymbol{\Sigma}_j)$；

注意到 $x = e^{\log x}$（$\log$ 其实是 $\ln$，常见资料通常不区分），所以：

$$
P(y = k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}}) = \frac{e^{\log (\pi_k \mathcal{N}_k)}}{\sum_{j=1}^K e^{\log (\pi_j \mathcal{N}_j)}}
$$

再根据第6.3节公式(5)和(6)：

$$
\delta_k - \frac{d}{2}\log(2\pi) = \log \pi_k + \log \mathcal{N}_k = \log (\pi_k \mathcal{N}_k)
$$

其中 $-\frac{d}{2}\log(2\pi)$ 是常数，记为 $C$，故：

$$
\log (\pi_k \mathcal{N}_k) = \delta_k + C
$$

代入，

$$
\begin{aligned}
P(y = k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}})
& = \frac{e^{\log (\pi_k \mathcal{N}_k)}}{\sum_{j=1}^K e^{\log (\pi_j \mathcal{N}_j)}} \\
\\
& = \frac{e^{\delta_k + C}}{\sum_{j=1}^K e^{\delta_j + C}} \\
\\
& = \frac{e^{\delta_k} e^C}{\sum_{j=1}^K e^{\delta_j} e^C} \\
\\
& = \frac{e^{\delta_k} e^C}{e^C \sum_{j=1}^K e^{\delta_j}} \\
\\
& = \frac{e^{\delta_k}}{\sum_{j=1}^K e^{\delta_j}}
\end{aligned}
$$

这正是 $\operatorname{softmax}(\boldsymbol{\delta})_k$ 的定义形状；其中 $\boldsymbol{\delta} = (\delta_1,\delta_2,\dots,\delta_K)^\top$。

也就是说：$P(y = k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}}) = \operatorname{softmax}(\boldsymbol{\delta})_k$，和“强行”归一化 $\delta_k$ 殊途同归，就是后验概率本身。

线性判别分析 LDA (7)

LDA 模型 (7.1)

GDA（高斯判别分析）具有较高的模型弹性，但由于需要为每个类别独立估计协方差矩阵，在训练数据量不足时容易过拟合。线性判别分析（LDA, Linear Discriminant Analysis）是 GDA 的一种简化形式，其核心假设是所有类别共享同一个协方差矩阵，从而降低模型复杂度并提升泛化能力。

说明：严格来说，GDA 本身并未规定协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}_k$ 是否独立，因此 GDA 是一个生成模型的“框架”或“家族”。本文前面讲述的所有内容（如为每类单独估计 $\boldsymbol{\Sigma}_k$）实际上对应的是 GDA 的一个特例，称为 QDA（Quadratic Discriminant Analysis，二次判别分析）。值得注意的是，在部分文献（如 Andrew Ng 的 CS229）中，GDA 常被直接用来指代 QDA。QDA 是 GDA 在“每类协方差矩阵独立”这一设定下的具体实现；而 LDA 则是 GDA 在“协方差矩阵共享”约束下的简化版本。

LDA 的生成模型为：

$$
P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x}, y=k) =
P_{\boldsymbol{\theta}}(y=k) \cdot P_{\boldsymbol{\theta}}(\boldsymbol{x} \mid y=k) =
\pi_k \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma})
$$

LDA 训练 (7.2)

同前，这里的“训练”还是指使用最大似然估计求解析解（而非梯度下降），和第4节类似。

似然函数的拆分可以直接复用：

$$
\ell(\boldsymbol{\theta}) = \sum_{i=1}^{N} ( \log \pi_{y_i} + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_i \mid \boldsymbol{\mu}_{y_i}, \boldsymbol{\Sigma}) )
$$

分成两部分：

$$
\log \pi_{y_1} + \log \pi_{y_2} + \dots + \log \pi_{y_N}
\tag{1’}
$$

$$
\log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_1 \mid \boldsymbol{\mu}_{y_1}, \boldsymbol{\Sigma}) + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_2 \mid \boldsymbol{\mu}_{y_2}, \boldsymbol{\Sigma}) + \dots + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_N \mid \boldsymbol{\mu}_{y_N}, \boldsymbol{\Sigma})
\tag{2’}
$$

忽略求解过程（待学习：第一个式子照搬；第二个式子中 $\boldsymbol{\mu}_k$ 仍逐类独立，但共享的 $\boldsymbol{\Sigma}$ 出现在所有类别的项里，必须联合求导），直接给出结果：

$$
\begin{aligned}
\hat{\pi}_k & = \frac{N_k}{N} \\
\hat{\boldsymbol{\mu}}_k & = \frac{1}{N_k} \sum_{i:y_i=k} \boldsymbol{x}_i \\
\hat{\boldsymbol{\Sigma}} & = \sum_{k=1}^K \frac{N_k}{N} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_k
\end{aligned}
$$

其中 $\sum_{k=1}^K \frac{N_k}{N} \hat{\boldsymbol{\Sigma}}_k$ 表示 QDA 的 $K$ 个估计量 $\hat{\boldsymbol{\Sigma}}_k$ 的加权平均，权重是$\frac{N_k}{N}$。

LDA 类别预测 (7.3)

LDA “训练”（求解析解而非梯度下降）完成之后，就可以预测 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的类别，也就是最大化后验概率（和第6.3节公式(3)一样）：

$$
P(y = k \mid \boldsymbol{x}_{\text{new}}) = \frac{P(y=k) P(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid y=k)}{P(\boldsymbol{x}_{\text{new}})}
$$

分母对所有 $k$ 相同（即不依赖于 $k$），故只需最大化分子部分：

$$
P(y=k) P(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid y=k) = \pi_k \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma})
$$

即：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} ( \pi_k \cdot \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}))
$$

因为 $\log$ 的单调性：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} (\log \pi_k + \log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}))
$$

根据第6.3节公式(5)，

$$
\log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}) =
-\frac{d}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\log|\boldsymbol{\Sigma}| - \frac{1}{2}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)
$$

因为 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是公共的，上式中和 $k$ 相关的部分只有

$$
-\frac{1}{2}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{x}_{\text{new}}-\boldsymbol{\mu}_k)
$$

展开：

$$
-\frac{1}{2}({\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}_{\text{new}} - {\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k - {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}_{\text{new}} + {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k)
$$

其中 ${\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 又和 $k$ 无关；将它舍去，变成：

$$
-\frac{1}{2}(- {\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k - {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}_{\text{new}} + {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k)
$$

因为 $\boldsymbol{\Sigma}$ 是对称矩阵，所以 $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 也是对称矩阵，所以下式(7)成立（$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$是向量）：

$$
\boldsymbol{a}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{a}
\tag{7}
$$

所以，

$$
{\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k = {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}_{\text{new}}
$$

故前面展开的式子可继续化简为：

$$
-\frac{1}{2}(-2 \cdot {\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k + {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k)
$$

等于

$$
{\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k - \frac{1}{2} {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k
$$

用它等价替换 $\hat{y}_{\text{new}}$ 中的 $\log \mathcal{N}(\boldsymbol{x}_{\text{new}} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma})$，得：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} (\log \pi_k + {\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k - \frac{1}{2} {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k)
$$

把 LDA 的判别函数仍记为 $\delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}})$：

$$
\delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}}) = \log \pi_k + {\boldsymbol{x}_{\text{new}}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k - \frac{1}{2} {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k
$$

它就是第6.3节公式(6)在共享 $\boldsymbol{\Sigma}$ 下舍去与 $k$ 无关项后的形状。最终：

$$
\hat{y}_{\text{new}} = \underset{k \in {1, \dots, K}}{\arg\max} \delta_k(\boldsymbol{x}_{\text{new}})
$$

LDA 和 QDA 对比 (7.4)

上一节推导出了 LDA 的判别函数 $\delta_k(\boldsymbol{x})$。根据公式(7)可知：

$$
{\boldsymbol{x}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k = {\boldsymbol{\mu}_k}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}
$$

所以 $\delta_k$ 可写成 $\boldsymbol{w}_k^\top \boldsymbol{x} + b_k$ 的形式。其中，

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{w}_k = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k \\
& b_k = -\frac{1}{2} \boldsymbol{\mu}_k^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k + \log \pi_k.
\end{aligned}
$$

本质上：共享 $\boldsymbol{\Sigma}$ 使得二次项 ${\boldsymbol{x}}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}$ 与 $k$ 无关，从而被舍去，变成了关于 $\boldsymbol{x}$ 的线性函数；这就是 Linear 的由来。

相比之下，QDA 中 $\boldsymbol{x}$ 的二次方系数和 $k$（$\boldsymbol{\Sigma}_k$）有关而被保留，所以叫 QDA (Quadratic)。

LDA与QDA对比

概率与归一化 (7.5)

和 QDA 一样，有了判别函数 $\delta_k$ 就可以预测 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 的类别：对 $k=1,2,\dots,K$ 算出所有 $\delta_k$，找出最大的即可。但如第6.4节所言，那还不是 $\boldsymbol{x}_{\text{new}}$ 属于各个类别的概率。要得到概率，就需要做归一化处理。第6.4节讨论了殊途同归的两个角度：

• 使用 $\operatorname{softmax}$ 对 $\delta_k$ “强行”归一化；
• 基于后验概率进行推导，得到一模一样的结果；

本节在 LDA 情形下，针对二分类和多分类，再次基于后验概率进行推导（本质上和第6.4节同源，是它的特例）。

二分类 (7.5.1)

二分类场景，即 $y$ 只有 1 和 2 两个取值。上文已经算出它们的先验概率是 $\pi_1$ 和 $\pi_2$，各类高斯分布的均值向量（Mean vector）分别是 $\boldsymbol{\mu}_1$ 和 $\boldsymbol{\mu}_2$，协方差矩阵 是 $\boldsymbol{\Sigma}$ （LDA模型中，各类别的协方差矩阵相同）。

根据贝叶斯公式，类别1（$y=1$）的后验概率：

$$
P(y=1 \mid \boldsymbol{x}) = \frac{P(y=1) P(\boldsymbol{x} \mid y=1)}{P(\boldsymbol{x})}
$$

根据全概率公式：

$$
P(\boldsymbol{x}) = P(y=1)P(\boldsymbol{x} \mid y=1) + P(y=2)P(\boldsymbol{x} \mid y=2)
$$

所以:

$$
P(y=1 \mid \boldsymbol{x}) = \frac{P(y=1) P(\boldsymbol{x} \mid y=1)}{P(y=1)P(\boldsymbol{x} \mid y=1) + P(y=2)P(\boldsymbol{x} \mid y=2)}
$$

分子分母同除以$P(y=1) P(\boldsymbol{x} \mid y=1)$ （不为0）：

$$
P(y=1 \mid \boldsymbol{x}) = \frac{1}{1 + \frac{P(y=2)P(\boldsymbol{x} \mid y=2)}{P(y=1) P(\boldsymbol{x} \mid y=1)}}
$$

令

$$
-z = \log \frac{P(y=2)P(\boldsymbol{x} \mid y=2)}{P(y=1) P(\boldsymbol{x} \mid y=1)}
$$

记号同第6.4节，$\log$ 即 $\ln$；

原式变形为：

$$
P(y=1 \mid \boldsymbol{x}) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
$$

这正是以 $z$ 为自变量的sigmoid函数 $\sigma(z)$。根据对数性质，$z$ 可变形为：

$$
z = \log \frac{P(y=1) P(\boldsymbol{x} \mid y=1)}{P(y=2)P(\boldsymbol{x} \mid y=2)}
$$

乘法变加法：

$$
z = \log \frac{P(y=1)}{P(y=2)} + \log \frac{P(\boldsymbol{x} \mid y=1)}{P(\boldsymbol{x} \mid y=2)}
$$

代入已知先验概率：

$$
z = \log \frac{P(\boldsymbol{x} \mid y=1)}{P(\boldsymbol{x} \mid y=2)} + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

代入多元高斯分布：

$$
z = \log \frac{\mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma})}{\mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_2, \boldsymbol{\Sigma})} + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

注意：

$$
\mathcal{N}(\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{\mu}_k, \boldsymbol{\Sigma}) =
\frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{1/2}}
\exp\left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_k)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_k) \right)
$$

前半部分约分：

$$
z = \log \frac{\exp\left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_1)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_1) \right)}{\exp\left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_2)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_2) \right)} + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

除法变减法：

$$
z = \log \exp\left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_1)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_1) \right) - \log \exp\left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_2)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_2) \right) + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

即

$$
z = \left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_1)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_1) \right) - \left( -\frac{1}{2} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_2)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_2) \right) + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

其中

$$
(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}) =
\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu} - \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}
$$

根据第7.3节公式(7)可知 $\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x}$。所以：

$$
(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu})^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}) =
\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} - 2 \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{\mu}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}
$$

代入$z$：

$$
z = \left( -\frac{1}{2} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{\mu}_1^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} - \frac{1}{2} \boldsymbol{\mu}_1^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_1 \right) - \left( -\frac{1}{2} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{\mu}_2^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} - \frac{1}{2} \boldsymbol{\mu}_2^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_2 \right) + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

合并化简，得到：

$$
z = \boldsymbol{\mu}_1^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} - \boldsymbol{\mu}_2^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} - \frac{1}{2}(\boldsymbol{\mu}_1^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_2) + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

整理，得到：

$$
z = (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{x} - \frac{1}{2}(\boldsymbol{\mu}_1^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_2) + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

因为 $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 是对称矩阵，所以 $(\boldsymbol{\Sigma}^{-1})^\top = \boldsymbol{\Sigma}^{-1}$。又因为 $(AB)^\top = B^\top A^\top$。所以，

$$
(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} = (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2)^\top (\boldsymbol{\Sigma}^{-1})^\top = \left( \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2) \right)^\top
$$

最终：

$$
z = \left( \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2) \right)^\top \boldsymbol{x} - \frac{1}{2}(\boldsymbol{\mu}_1^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_2) + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
$$

所以 $z$ 可表示为：

$$
z = \boldsymbol{w}^\top \boldsymbol{x} + b
$$

其中，

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{w} = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} (\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2) \\
& b = - \frac{1}{2}(\boldsymbol{\mu}_1^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_2) + \log \frac{\pi_1}{\pi_2}
\end{aligned}
$$

这里 $\boldsymbol{w}$ 是一个向量，$b$ 是一个标量。因为 $\pi_1$、$\pi_2$、$\boldsymbol{\mu}_1$、$\boldsymbol{\mu}_2$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 均已经通过训练得到，所以 $\boldsymbol{w}$ 和 $b$ 是确定的。

由 $z$ 的形式可见，LDA 的线性（Linear）正源于此：判别函数是输入 $\boldsymbol{x}$ 的线性函数。在二分类场景下，后验概率为 $P(y=1 \mid \boldsymbol{x}) = \sigma(z)$。当 $z \geq 0$ 时，$\sigma(z) \geq 0.5$，模型将 $\boldsymbol{x}$ 判为类别1；否则判为类别2。

sigmoid和类别分界线

假如 $\boldsymbol{x}$ 仅有两个分量 $x_1$ 和 $x_2$，则决策边界 $z=0$ 对应平面上的一条直线。例如，由 $\pi_1$、$\pi_2$、$\boldsymbol{\mu}_1$、$\boldsymbol{\mu}_2$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ 计算得：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{w}^\top = (20,5) \\
& b = -50
\end{aligned}
$$

则决策边界为直线 $20x_1 + 5x_2 - 50 = 0$（如上图所示）。

推广到高维空间：

• 当 $d=3$ 时，决策边界是一个平面；
• 当 $d>3$ 时，决策边界是一个 $d-1$ 维的超平面（hyperplane）；

由于该边界由线性方程 $\boldsymbol{w}^\top \boldsymbol{x} + b$ 定义，故称为“线性判别”，这就是 Linear Discriminant Analysis 名称的由来。如果每个类有自己的 $\boldsymbol{\Sigma}_k$（即 QDA），那么决策边界会包含 $\boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1} \boldsymbol{x}$ 这样的二次项，结果是椭圆、抛物线、双曲线等 曲线边界（假设 $\boldsymbol{x}$ 是二维的），故称 Quadratic（二次）判别分析。

多分类 (7.5.2)

由第7.5.1节可知，在二分类场景下，特征向量 $\boldsymbol{x}$ 对某一类别的后验概率可表示为 $\sigma(\text{关于 }\boldsymbol{x}\text{ 的线性组合})$。这实际上是多分类情形的一个特例。

在多分类场景下，特征向量 $\boldsymbol{x}$ 对类别 $k$ 的后验概率为：

$$
P(y = k \mid \boldsymbol{x}) = \frac{e^{\boldsymbol{w}_k^\top \boldsymbol{x} + b_k}}{\sum_{j=1}^K e^{\boldsymbol{w}_j^\top \boldsymbol{x} + b_j}}
\tag{8}
$$

这一结果无需重新推导：由第6.4节可知，后验概率 $P(y = k \mid \boldsymbol{x})$ 是：

$$
P(y = k \mid \boldsymbol{x}) = \frac{e^{\delta_k}}{\sum_{j=1}^K e^{\delta_j}}
$$

又由第7.4节可知，LDA 的判别函数 $\delta_k$ 可表示成：

$$
\delta_k = \boldsymbol{w}_k^\top \boldsymbol{x} + b_k
$$

结合二者便得到公式(8)的结果。引入 $\operatorname{softmax}$，特征向量 $\boldsymbol{x}$ 对类别 $k$ 的后验概率可简洁地表示为：

$$
P(y = k \mid \boldsymbol{x}) = \operatorname{softmax}(\boldsymbol{z})_k,
$$

其中，

$$
z_k = \boldsymbol{w}_k^\top \boldsymbol{x} + b_k,
$$

并且在 LDA 框架下，参数由下式给出：

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{w}_k = \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k \\
& b_k = -\frac{1}{2} \boldsymbol{\mu}_k^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \boldsymbol{\mu}_k + \log \pi_k.
\end{aligned}
$$

可以验证，当 $K=2$ 时，$P(y=1 \mid \boldsymbol{x})$ 退化为 $\sigma(z)$ 形式，且其中 $z$、$\boldsymbol{w}$ 和 $b$ 完全同7.5.1节。

注意：在二分类场景中，只需计算类别 $k=1$ 的后验概率 $P(y=1 \mid \boldsymbol{x}) = \sigma(z)$，而类别 $k=2$ 的后验概率自然为 $P(y=2 \mid \boldsymbol{x}) = 1 − \sigma(z) = \sigma(-z)$ （容易推导），自动满足归一化条件。

在多分类场景中，$\operatorname{softmax}(\boldsymbol{z})$ 输出一个 $K$ 维概率向量，其第 $k$ 个分量 $\operatorname{softmax}(\boldsymbol{z})_k$ 即为类别 $k$ 的后验概率 $P(y = k \mid \boldsymbol{x})$。所以，整体可以写成向量形式：

$$
P(y \mid \boldsymbol{x}) = \operatorname{softmax}(\boldsymbol{W}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{b}),
$$

其中线性得分（logit）向量 $\boldsymbol{z}$ 定义为：

$$
\boldsymbol{z} =
\boldsymbol{W}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix}
\boldsymbol{w}_1^\top \boldsymbol{x} + b_1 \\
\boldsymbol{w}_2^\top \boldsymbol{x} + b_2 \\
\vdots \\
\boldsymbol{w}_K^\top \boldsymbol{x} + b_K
\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^K
$$

其中：

• $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^d$：输入特征向量（$d$维）
• $\boldsymbol{W} \in \mathbb{R}^{K \times d}$：权重矩阵，第 $k$ 行是 $\boldsymbol{w}_k^\top$
• $\boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^K$：偏置向量，第 $k$ 个元素为 $b_k$
• $\boldsymbol{z} \in \mathbb{R}^K$：线性得分向量，第 $k$ 个元素为类别 $y=k$ 的线性得分（叫做logit）。
• $\operatorname{softmax}(\boldsymbol{z}) \in \mathbb{R}^K$ 输出为类别后验概率分布。

小结 (8)

想象真实世界是一个黑箱机器，看不见里面怎么运作，但可以观察大量输出，试着反向造一台类似的机器。

GDA 就是这样一种尝试：

“我猜，这个黑箱对每个类别，都是从一个高斯分布里随机‘采样’输出数据的。”

于是，我们为每个类别打造一个高斯模具——由均值（中心位置）和协方差（形状、方向）定义。

• 如果我们让每个类别的模具自由变形（各自有独立的协方差），这就是 QDA ——灵活，能贴合复杂形状，但需要很多数据才能把模具调准，否则容易过拟合。
• 如果我们强制所有类别的模具共用同一个形状（共享协方差），这就是 LDA ——虽然牺牲了一些灵活性，但模具更稳定，哪怕数据不多也能靠谱工作。

训练过程，就是观察真实数据，不断调整这些模具的参数。预测时，则是看新样本最像哪个模具“吐出来”的，就把它归到那一类。

所以，GDA 不是在直接划分类别边界，而是在模仿世界生成数据的方式——它相信：理解“如何产生”，才能更好“判断归属”。

这正是生成模型的哲学：不是记住答案，而是学会造答案。